SUCESIONES

En esta ocasión para entrar en calor, hemos trabajado en el aula de informática con la web Vitutor. Visualizando la teoría y realizando los ejercicios relacionados con sucesiones y progresiones aritméticas.

A continuación se muestra un resumen de los contenidos trabajados.

Definición: Una sucesión es un conjunto de números ordenados.

Notación: Los elementos de una sucesión se llaman términos y se designan mediante una letra con subíndice. Dicho subíndice indica la posición que ocupa el elemento en la sucesión.

$a_1, a_2, a_3, a_4, ... a_n...$

Definición: El término general de una sucesión es la expresión que representa cualquier término de la sucesión, $a_n$, en función de la posición que ocupe, n.

Caso particular I: Una progresión aritmética es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente sumando la diferencia, d.

El término general de una progresión aritmética cuyo primer término es $a_1$ y cuya diferencia es d se obtiene mediante la siguiente expresión:

$a_n=a_1+\left(n-1\right)·d$

Además, la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética se puede calcular del siguiente modo:

$S_n=\frac{\left(a_1+a_n\right)·n}{2}$

Ejemplo: La sucesión 2, 5, 8, 11, 14... es una progresión aritmética de valor inicial $a_1=2$ y diferencia $d=3$. Por ello, su término general $a_n=2+(n-1)·3$ queda reducido a la expresión $a_n=3n-1$. Así,

$$\begin{gathered} a_1=3·1-1=2 \\ {a}_2=3·2-1=5 \\ {a}_3=3·3-1=8 \\ ... \\ {a}_{10}=3·10-1=29 \\ ... \end{gathered}$$

Por último, la suma de sus 10 primeros términos se puede obtener del siguiente modo:

$S_{10}=\frac{\left(2+29\right)·10}{2}=\frac{310}{2}=155$

De hecho, $2+3+8+11+14+17+20+23+26+29=155$

Caso particular II: Una progresión geométrica es una sucesión en la que se pasa de cada término al siguiente multiplicando por la razón, r.

El término general de una progresión geométrica cuyo primer término es $a_1$ y cuya razón es r se obtiene mediante la siguiente expresión:

$a_n=a_1{r}^{n-1}$

Además, la suma de los n primeros términos de una progresión geométrica se puede calcular del siguiente modo:

$S_n=\frac{a_n·r-a_1}{r-1}$

Ejemplo: La sucesión 1, 2, 4, 8, 16, 32... es una progresión geométrica de valor inicial $a_1=1$ y razón $r=2$. Por ello, su término general queda reducido a la expresión $a_n=1·2^{n-1}$ . Así,

$$\begin{gathered} a_1=2^0=1 \\ {a}_2=2^1=2 \\ {a}_3=2^2=4 \\ ... \\ {a}_{10}=2^9=1024 \\ ... \end{gathered}$$

Por último, la suma de sus 10 primeros términos se puede obtener del siguiente modo:

$S_{10}=\frac{a_{10}·2-a_1}{2-1}=1024·2-1=2047$

De hecho, $1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+1024=2047$