ESTRATEGIAS GANADORAS EN JUEGOS (1 de 5)

Esta semana, para entrar en calor, hemos empezado jugando a cinco juegos matemáticos distintos, analizando de manera intuitiva la estrategia ganadora de cada uno de ellos.

El día 4 de octubre de 2016, en la clase de Ampliación de Matemáticas de 3º ESO, hemos expuesto las soluciones a los distintos juegos que nos propuso nuestra profesora en la clase anterior. Estos han sido nuestros resultados (Texto elaborado por Jossué):

• JUEGO 1: El círculo de monedas. El juego consiste en ir extrayendo monedas de una en una o de dos en dos (siempre consecutivas) de una circunferencia de 12 monedas. Gana quien saque la última moneda. Posible estrategia: Creemos que, si empiezas el segundo: Haces los movimientos exactos del primero y, si el antepenúltimo movimiento es tuyo, sacas una moneda. En caso contrario dos monedas. Si empiezas tú primero: No hay estrategia definitiva, pero tienes la ventaja de ver la jugada anticipadamente. (Texto elaborado por Bilal)

• JUEGO 2: La torre. El juego consiste en alcanzar la meta, moviendo por turnos, tantas casillas como se quiera en horizontal hacia la derecha o vertical hacia abajo. Posible estrategia: Pensamos que en el juego de la torre el que empieza jugando gana, ya que el número de casillas en el tablero, a diferencia del ajedrez (que tiene 64 casillas), tiene 56 casillas en total (7×8). El jugador que empieza es el que gana porque, aunque el número de casillas sea 56, el jugador solamente se puede desplazar por 55 de ellas, por lo que el número impar de las casillas hace que el jugador que empiece lleve una ventaja sobre su rival. (Texto elaborado por Mariam)
• JUEGO 3: La reina. Al juego de la reina se juega con un tablero, parecido al de ajedrez, pero con la diferencia de que posee 7x8 casillas. En la esquina superior izquierda está la salida y en la esquina inferior derecha, la meta. Quien llegue antes a la meta gana. Se puede mover hacia la derecha, hacia abajo o diagonalmente hacia la meta, tantas casillas como se quiera. Posible estrategia: Gana siempre el primero, ya que si mueves diagonalmente hacia la meta todas las casillas que puedas menos una, habrás ganado, ya que haga el movimiento que haga, tu rival se sacrifica y tienes camino libre a la meta. (Texto elaborado por Santiago)
• JUEGO 4: El 1 y el 2. 

Materiales requeridos: Un lápiz o boli, una hoja de papel y, en caso de lápiz, una goma.

Instrucciones: En una hoja en blanco se escriben 10 números unos en línea y paralelamente 10 números doses. Cada jugador tiene dos posibles jugadas: tachar 2 números distintos, en cuyo caso  se transforman en el número 1, o tachar dos números iguales, que se transformarán en el número 2. Cada número tachado es sustituido por uno de los mencionados dependiendo del caso. Gana el jugador que consiga que su número sea el último.

Posible estrategia: Los números uno tratan de tachar los números opuestos a los que tachan los doses; es decir, tiene que usar la jugada "espejo" (si los nº2 tachan a dos unos, los nº1 tachan a dos doses). Los números dos tratarán de confundir a los números uno. Con un solo fallo de los números uno los números dos ganan si tachan todos los números de una fila. Cabe destacar que si los números uno copian todas las jugadas, los doses ganan porque al final queda un 2. (Texto elaborado por Félix)

• JUEGO 5: Sumar 15. El juego consiste en seleccionar, por turnos, números del 1 al 9, sin repeteciones. Quien consiga sumar 15 con tres de los números elegidos gana la partida. Posible estrategia: Hemos visto que eligiendo al inicio de la jugada número pequeños, se tiene más posibilidades de ganar, pues permiten más combinaciones posibles y aunque el adversario nos cierre alguna opción de sumar 15, podremos conseguirlo por otro camino.

Bibliografía: 

• Juegos matemáticos y análisis de estrategias ganadoras. 

ESTRATEGIAS GANADORAS EN JUEGOS (2 de 5)

Juego 6: Persecución cartesiana. Se presenta un nuevo juego que consiste en alcanzar la meta del tablero moviendo por turnos sólo una posición en dirección horizontal-derecha, vertical-arriba y diagonal-arriba-derecha.

Jugamos en un tablero de 3x5 y en un tablero de 4x7 y buscamos las casillas ganadoras y perdedoras de ambos tableros, com lo que quedan definidas las estrategias ganadoras de ambos juegos. 

También empezamos a buscar la casillas ganadoras y perdedoras de los juegos La Torre y La Reina. Definimos, de este modo, la Estrategia Ganadora de ambos juegos:

"La torre"

"La reina"

(Texto elborado por Camila)

ESTRATEGIAS GANADORAS EN JUEGOS (3 de 5)

Juego 7: La carrera del cien. El que empieza dice un número cualquiera del 1 al 10. El otro jugador le suma al número que dijo su oponente un número del 1 al 10 y dice el resultado. Continúan jugando así, por turnos. Gana el que primero diga 100.

En una tabla como la siguiente hemos ido deduciendo las "casillas" ganadoras:

Por lo que podemos afirmar que el ganador del juego es quien en la primera jugada elige el número 1. 

Si la meta consiste en llegar al 35, gana el primero que elija el número 2:

Pero... Si la meta consiste en llegar al 77... será ganador quien NO empieza el juego. Pues el primer jugador debería empezar eligiendo el 0 y está opción, no existe. 

Para finalizar, tuvimos que inventarnos nuevas versiones del juego, con nuestros propios números y reglas. A partir de aquí, pudimos generalizar la estrategia: Si la meta es llegar al número m, eligiendo primero un número entre  1 y n, y sumando consecutivamente un número entre 1 y n, ganará el segundo jugador si m es múltiplo de (n+1). En caso contrario, ganará el juego quien empieza.

(Texto elaborado por Xiaojun y Javier)

ESTRATEGIAS GANADORAS EN JUEGOS (4 de 5)

Juego 8. Descenso hacia el cero. Se comienza con el número 1000 escrito en el pizarrón. En cada turno, uno de los jugadores sustrae al número que está escrito, un número natural menor o igual que él, según la versión del juego. El resultado se escribe nuevamente en el pizarrón, y el número anterior es borrado. El jugador que llega a 0 gana.

Versión 1. En cada turno, uno de los jugadores sustrae al número que está escrito, un número natural menor o igual que él, que sea potencia de 2.

Estudiamos, como siempre, la estrategia desde el final. Serán casilla perdedoras todas potencias de 2, obviamente, y ganadoras aquellas que obliguen al adversario en caer en casilla perdedora. Observamos que quedan como casillas ganadoras todos los múltimplos de tres.

Así, tiene estrategia ganadora el jugador que comienza el juego. La estrategia será la siguiente: primero le restará al 1000 la potencia de 2⁰=1, ya que al hacerlo le quedará un múltiplo de 3 en el pizarrón (999). Luego irá “bajando” en el juego forzando siempre la aparición de un múltiplo de 3 en su turno, hasta llegar al 0.

Versión 2. Restando 1 ó 2: Gana el primero, restando 1 al número 1000 y llegando al 999. ¿Por qué? Porque las casillas ganadoras son los múltiplos de 3:

Versión 3. Restando potencias de 3: Gana el segundo jugador llegando a número par en cada turno. ¿Por qué? Por que primero siempre se sitúa en número para y debe restar un impar, llegando a impar y permitiendo al segundo jugador situarse de nuevo en casilla par: ganadora.

Versión 4. El juego consiste en llegar a k, empezando por el 1000, restando potencias de 2: Gana el primero si k es múltiplo de 3. ¿Por qué? Porque la casilla ganadora se sitúa cada tres lugares.

Finalmente, si se sustrae una potencia de 2, desde n hasta k… Generalizamos la estrategia ganadora de la versión 1 en la siguiente tabla:

(Texto elaborado por Arianna)

ESTRATEGIAS GANADORAS EN JUEGOS (5 de 5)

Juego 9. La mesa circular. Consiste en colocar, por turnos, monedas del mismo tamaño en un círculo, sin superponer unas con otras. El primero que no pueda introducir su moneda al completo, pierde.

Observación: Siguiendo la misma estretegia, en el juego 1 "El círculo de monedas" ganará el jugador que NO empieza.

(Texto elaborado por ANÓNIMO???)

Juego 10. Tres en raya. Se juega sobre un tablero de 3x3. Por turnos, dos jugadores van poniendo fichas en el tablero. Gana el primero que consigue “tres en línea”. Cada ficha queda fija en el tablero y no hay posibilidad de cambiar de posición.

Estrategia: No hay estrategia ganadora, pero sí hay estrategia para no perder. Consiste en bloquer debidamente los movimientos del adversario. He aquí las casilla de bloque para la primera jugada en función de la posición de la primera ficha en el tablero:

Observación: Este juego tiene relación con el juego 5 "Sumar 15", pues si se juega sobre este cuadro mágico, conseguirá sumar 15 aquel jugador que consiga "tres en línea".

(Texto elaborado por ANÓNIMO????)