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Reflexión acerca de los Procesos de enseñanza-aprendizaje de las Matemáticas en Educación Infantil

  Reflexión acerca de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en Educación Infantil

Resumen

La construcción significativa del conocimiento matemático comienza en la edad infantil fruto de la reflexión, razonamiento, pruebas, errores, demostraciones y, en general, de la búsqueda de la verdad. Hoy en día, en la mayoría de las escuelas, se trabajan las matemáticas siguiendo teorías empíricas, en las que el maestro explica y el alumno ejecuta.

A través de este artículo se pretende reflexionar sobre las prácticas habituales en los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en las aulas de los más pequeños y proponer alternativas para la construcción del conocimiento lógico-matemático a través de juego, la manipulación y la interacción social. Todo ello, basado en una innovación pedagógica apoyada en la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau y la Teoría Antropológica de lo Didáctico de Chevallard.


Los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en las aulas de los más pequeños, la etapa de Educación Infantil, la cual acoge a niños de edades comprendidas entre 0 y 6 años, comúnmente se basan en procesos en los que los maestros explicamos a los alumnos los conceptos o usos matemáticos, es decir, el “cómo deben hacer algo” para que realicen correctamente el trabajo que posteriormente se les va a proponer.

Es decir, los maestros “enseñamos matemáticas” a los niños con el objetivo de que realicen bien la ficha o tarea que se les propone en el aula pero ¿realmente el niño adquiere el concepto o uso matemático que le hemos enseñado?

Vayamos con varios ejemplos comunes que se dan habitualmente en las aulas de los más pequeños y que puedan clarificar mejor este aspecto:

Situación 1: Nos encontramos en una clase de 2º curso de Educación Infantil, es decir, con niños de 4-5 años. Esta semana nuestro objetivo es trabajar el número 4. Para ello, enseñamos a nuestros alumnos una imagen de dicho número y les decimos “este es el cuatro”, contamos juntos hasta cuatro y posteriormente les entregamos una ficha en la que aparece dibujada una maceta con flores y el número 4 con línea discontinua para repasar y les decimos:

Ficha para trabajar el número 4.Reflexión acerca de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en Educación Infantil. Ficha para trabajar el número 4.

Consigna: “Ahora debéis repasar el número 4 con un rotulador y debéis colorear 4 flores de la maceta”.

Posibles técnicas de los alumnos: sólo hay una, repasar y colorear las 4 flores.

Situación 2: Nos encontramos en un aula de 1º de Educación Infantil, es decir, con niños de 3-4 años. Esta semana vamos a trabajar el concepto dentro y fuera, para ello, la maestra con un objeto les explica en gran grupo: “Esto es dentro” mientras coloca el objeto dentro de una caja  y “esto es fuera” mientras coloca el objeto fuera de la caja. A continuación, la maestra anima a varios alumnos a que prueben colocando dentro o fuera de la caja el objeto y, para terminar, les entrega una ficha en la que aparece dibujado un bote de lápices.

Ficha para trabajar el concepto dentro fuera.Reflexión acerca de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en Educación Infantil.

Ficha para trabajar el concepto dentro-fuera.

Consigna: “Ahora debéis colorear los lápices que están dentro del bote”.

Posibles técnicas de los alumnos: sólo hay una, colorear los objetos que están dentro del bote.

Ahora bien, ¿a través de estas tareas y metodología utilizadas el niño ha tomado partido en su aprendizaje o, por el contrario, se le ha dicho concretamente lo que debe de hacer? ¿De este modo interiorizará el concepto y podrá extrapolarlo a otra de sus situaciones diarias? ¿Coloreando los lápices del bote el niño está coloreando realmente los que hay “dentro” o tendríamos que hablar de “encima” del papel?

En la etapa de Educación Infantil se entiende socialmente que los conocimientos que los maestros transmitimos a nuestros alumnos son sencillos, simples, ya que los llevamos a cabo de manera automática sin cuestionarnos las condiciones de su realización: la cantinela del conteo, el aprendizaje de la grafía de los primeros números mediante canciones como “el uno es un soldado, el dos es un patito,…”, las figuras geométricas básicas: el círculo, el cuadrado,…

Pero realmente esto no es así, los fundamentos de las matemáticas son altamente complejos una vez se analizan y se reflexiona sobre ellos, sólo de esta manera se puede tratar debidamente su proceso de aprendizaje. Además, hay que tener en cuenta que, en esta etapa, tiene lugar el desarrollo de la personalidad racional de los niños, por tanto, los problemas que el maestro plantee al alumno deben facilitar ámbitos donde se generen los comportamientos sociales relativos a la toma de decisiones y al establecimiento de la verdad (Ruiz Higueras, L., 2005).

El aprendizaje más fundamental que los niños pueden encontrar, en las matemáticas en la escuela infantil, es el de la gestión personal y social de la verdad. Las matemáticas no tienen el monopolio de la investigación de la verdad, pero constituyen el dominio donde la encuentran más precozmente y donde pueden aprender a tratarla con el menos número de saberes previos (Brousseau, 1998, p.6).

La enseñanza de las matemáticas no debe basarse en una mera transmisión de conocimientos, lo que desde el punto de vista de las teorías más empíricas de la educación refleja la concepción de que el profesor explica y el alumno ejecuta.

De este modo, se alcanza lo que Yves Chevallard llama el fenómeno del monumentalismo que consiste en presentar los conocimientos matemáticos como si se tratase de “monumentos” históricos de visita obligada pero de los que no se sabe ni a qué cuestiones responden ni cuál es su función (Chevallard, 2004).

De este modo, el aprendizaje de las matemáticas no debe reducirse a una simple memorización o a algo que aprendemos de una sola vez sino que aprender supone volver a empezar, repetir, pero no una simple repetición sino repetir comprendiendo lo que se hace y por qué se hace (Ruiz Higueras, L., 2005).

Por tanto, la enseñanza de las matemáticas debe ser una enseñanza basada en un maestro que propone y no impone una determinada forma de resolver los problemas, siendo los propios alumnos los que investigan y buscan las soluciones.

¿Pero si no decimos al alumno cómo debe hacer una determinada tarea se va a equivocar, no va a saber hacerlo? Pues precisamente, esta búsqueda de soluciones por parte de los alumnos es un elemento imprescindible para este cambio de perspectiva en los procesos de enseñanza-aprendizaje en la Educación Infantil. La búsqueda de la verdad a través de estos errores es el instrumento básico para la constitución de la racionalidad humana (Ruiz Higueras, L., 2005).

"Existe en la sociedad un miedo excesivo a equivocarnos, miedo al error, pero este error no debe ser considerado como algo negativo sino una nueva ocasión para volverlo a intentar y probar nuevas estrategias para la resolución de un problema que hemos planteado al alumno"

Si volvemos a los ejemplos habituales de las aulas de Educación Infantil que explicamos al principio del artículo, las fichas de la maceta de flores y del bote de lápices, dentro de las posibles estrategias que los alumnos pueden utilizar para resolverlos debería haber múltiples y no sólo una, como vimos. Por tanto, podemos afirmar que este tipo de tareas no facilitan la construcción autónoma de aprendizaje por parte del alumno ya que no le suponen un problema que deba analizar, investigar y descubrir sino que la solución ya está dada, viene impuesta por el maestro.

De hecho, la enseñanza de las matemáticas, para los propios profesores y maestros también es un tema complejo, ya que, en general, no conocen los avances en investigación en este ámbito y, por tanto, en las aulas se priorizan otros aspectos como la lectura o la escritura.

Además, como afirma Chevallard (2013), existe un proceso de rechazo cultural de las matemáticas hasta el punto de que muchas personas huyen de las matemáticas desde el momento en el que no están obligados a “hacer” matemáticas.

De hecho, la mayoría de los profesores no son conscientes de que, a diario, nos enfrentamos a múltiples problemas espaciales que debemos resolver con conocimientos, los cuales tendríamos dificultad para asociar a un determinado saber matemático. Por ejemplo, tenemos un regalo que debemos meter en una bolsa para entregar a un familiar ¿qué tamaño de bolsa escojo? O tenemos que forrar un libro ¿cómo recorto el papel necesario? O tengo que poner la mesa para mi familia ¿cuántos cubiertos debo coger?

Asimismo, como explica Chevallard (2013), actualmente existe una creencia generalizada de que el conocimiento matemático es algo de lo cual uno puede prescindir casi por completo cuando, en un pasado no muy lejano, las matemáticas eran consideradas la clave de un gran número de problemas individuales o colectivos.

Una vez llegados a este punto, vamos a presentar dos teorías necesarias para poder hacer un cambio contundente en la perspectiva de la enseñanza de las matemáticas: la Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau (1994), y la Teoría Antropológica de lo Didáctico de Chevallard (1985).

"Los conocimientos matemáticos solo pueden construirse y adquirirse a través de las actividades que   ellos permiten realizar y de los problemas que permiten resolver"

La Teoría de Situaciones Didácticas de Brousseau (1994) considera que el aprendizaje  matemático se produce mediante el resultado de la resolución de problemas. De este modo, los conocimientos matemáticos solo pueden construirse y adquirirse a través de las actividades que   ellos permiten realizar y de los problemas que permiten resolver. De acuerdo con esto, concluye  que las matemáticas no son solo un simple sistema conceptual, sino que son una actividad que  se realiza en una situación y contra un medio (situación-problema) y, además, es una actividad estructurada en la que se pueden separar las fases de acción, formulación, validación e  institucionalización.

Guy Brousseau (1998) propone un planteamiento partiendo de un modelo general del conocimiento matemático: saber matemáticas no es solamente saber y aprender definiciones para aplicarlas en  un determinado escenario, sino que el profesor debe proponer a los alumnos las situaciones matemáticas que se han descrito anteriormente, en las cuales el conocimiento que se pretende que los alumnos aprendan debe ser la solución óptima.

De hecho, enseñar un conocimiento matemático es hacer posible que los alumnos desarrollen con dicho conocimiento una actividad matemática. De este modo, el profesor no  es quien da el conocimiento al alumno para que después lo aplique, el llamado aplicacionismo por Gascón (2014), sino que es el alumno quien, enfrentándose a un verdadero problema y buscando su solución, construye  el conocimiento.

De este modo, como afirma Brousseau (1994, p.66) “el aprendizaje se considera como una modificación del conocimiento que el alumno debe producir por sí mismo y que el maestro solo debe provocar”.

Asimismo, según lo expuesto hasta ahora, las situaciones adecuadas para los alumnos serán aquellas mediante las cuales ellos puedan “vivir” y en las que los conocimientos matemáticos deberán aparecer como la solución óptima a los problemas propuestos. En estas situaciones el alumno desarrollará un trabajo intelectual comparable, en algunos momentos, a la actividad matemática científica. Es en esta actividad científica donde el alumno actuará, formulará, probará y construirá modelos de lenguaje, conocimientos que intercambiará con los demás, donde reconocerá aquellos que están conformes con la cultura y donde recoja aquellos que les son útiles y pertinentes (Ruiz Higueras, García, y Lendínez Muñoz, 2013).

De este modo, se aceptaría que para “hacer matemáticas” el alumno debe resolver problemas en los cuales aparecerán la incertidumbre, desconcierto, duda y tanteos, ya que éstos son la clave para el aprendizaje. Por tanto, los alumnos han de superar estas dificultades para llegar al éxito y los profesores entenderlos como algo totalmente necesario, ya que sólo descubriéndolos podremos considerar los medios para solucionarlos. Son las múltiples interacciones en el seno de la situación las que deben provocar las modificaciones en el alumno y favorecer la aparición de los conceptos deseados.

"Por tanto, se puede decir que los alumnos aprenderán matemáticas si hacen suyo el problema planteado por el profesor, ponen en funcionamiento una estrategia inicial y cambian de estrategia cuando esta estrategia inicial no le sirve para llegar al resultado óptimo"

De este modo, los alumnos construirán con sentido un conocimiento matemático.

La Teoría Antropológica de lo Didáctico sitúa la actividad matemática en el conjunto de  actividades humanas dentro de instituciones sociales, es decir, en las dimensiones sociales de los fenómenos didácticos. De este modo, esta teoría propone que toda actividad humana puede ser modelada mediante praxeologías (praxis + logos), la cual constituye la herramienta fundamental propuesta desde esta teoría para modelizar la actividad matemática entendida como una actividad humana más (Bosch, García, Gascón, & Higueras, 2006).

 

Se admite en efecto que toda actividad humana regularmente realizada puede describirse con un modelo único, que se resume aquí con la palabra de praxeología. Antes incluso de examinar lo que se denomina así, se debe señalar que se parte pues de una hipótesis que no especifica de ninguna manera la actividad matemática entre las actividades humanas: las matemáticas deberán ver reconocidas su especificidad de otra manera.
(Chevallard, 1999, p.222).  

Los procesos de construcción matemática se estructuran en dimensiones o momentos que aparecen en cualquier proceso de elaboración matemática, independientemente de sus características culturales, sociales, individuales o de otra índole (Bosch, García, Gascón, & Higueras, 2006). Estos momentos didácticos serían:

  • El momento del primer encuentro con un determinado tipo de tareas.
  • El momento exploratorio del tipo de tareas.
  • El momento de construcción de un entorno tecnológico-teórico, que explique y justifique las técnicas puestas en funcionamiento, así que permita la construcción de nuevas técnicas.
  • El momento de trabajo de la técnica, el cual provoca la evolución de las técnicas existentes y la construcción de nuevas técnicas.
  • El momento de institucionalización, el cual delimita y precisa aquellos elementos constituyentes de la organización matemática      construida.
  •  El momento de la evaluación de la praxeología construida.

Este proceso de estudio, es decir, el paso por cada uno de los momentos descritos anteriormente no es lineal, sino que cada momento puede ser vivido con diferentes intensidades, en diversos tiempos y tantas veces como sea necesario, en ocasiones, hasta de forma simultánea. Sí que es importante destacar que cada uno de los momentos desempeña una función específica necesaria para realizar el proceso de forma eficaz (Bosch, García, Gascón, & Higueras, 2006).

Por tanto, nuestro objetivo como maestros debe ser facilitar al niño su aproximación a la construcción autónoma del aprendizaje ya que cuando un niño comienza a aproximarse a ello está gestionando algo tan fundamental en la vida como es la verdad. Los conocimientos matemáticos a estas edades surgen de esta manera, como el fundamento necesario, sólido y universal de la verdad (Ruiz Higueras, L., 2005).

"Nuestro objetivo como maestros debe ser facilitar al niño su aproximación a la construcción autónoma del aprendizaje"

Asimismo, dando especial importancia a la manipulación ya que se trata de una técnica necesaria para que los alumnos sean capaces de interiorizar el razonamiento matemático. Esa técnica tiende a ser sustituida en las aulas por actividades en mesa y mediante fichas de trabajo en las que los alumnos deben repasar números, colorear cantidades de objetos en función de ese número, rodear posiciones de los objetos (arriba-abajo, dentro-fuera,…),… como hemos visto al principio de este artículo.

A continuación, se muestran dos actividades para conseguir que los niños se acerquen al conocimiento de las matemáticas de forma funcional, es decir, con sentido.

Juego: “Vamos a regar”

 Instrucciones: Cada alumno dispone de un lote de árboles. Debe conseguir un lote de regaderas para poder regar cada árbol con una sola regadera. La colección de árboles estará en la mesa delante del alumno y la de regaderas estará en una mesa en el otro lado del aula, de modo que los alumnos no pueden ver ambas colecciones a la vez. La realización de la actividad será por grupos de 5-6 alumnos, que realizan la actividad por turnos.

cartulina con materiales del juego Colegio Ediht Stein materiales del juego

 Materiales

Objetivo: Utilizar el conteo como estrategia óptima para resolver el problema.

Saber matemático: El número en su aspecto cardinal. La cardinación.  

Problema que se plantea: Construir una colección equipotente a otra dada.  

Consigna: “Todos tenéis una colección de árboles. Las regaderas están en aquella mesa, por tanto, deberéis traer las regaderas necesarias para que cada árbol tenga una y solo una regadera. Para ganar el juego no puede sobrar ni faltar ninguna regadera”.

Alumna del colegio Edith Stein realizando el juego de Alumna del colegio Edith Stein realizando la segunda parte del juego de

Alumna realizando el juego.

Posibles técnicas de los alumnos:

  • Correspondencia término a término: el alumno hace tantos viajes como árboles tenga, y coge una regadera en cada viaje.
  • Correspondencia grupo a grupo: misma acción pero cogiendo grupos.
  • Estimación visual: el niño hace una aproximación a la cantidad.
  • Conteo.
  • Reconocimiento inmediato de la cantidad (subitización): el niño nada más ver la colección de árboles sabe cuántas regaderas necesita.

Juego: “Las casitas de las ranas”

Cada alumno recibe una plantilla con puntos dibujados en ella. Los alumnos deberán realizar dos fases del juego. La primera consiste en tapar todos los puntos con una y solo una rana y taparlo con una casita. En la segunda fase, los alumnos deberán levantar cada casita una y sólo una vez, sacar la rana y volver a poner la casita encima del punto. Podemos tematizar este juego bajo la historia de unas ranas que tienen una casita cada una encima de los puntos negros del tablero, se meten en sus casitas para dormir y cuando se hace de día salen a pasear de una en una.

Materiales del juego la casita de las ranas. Alumno del colegio Edith Stein Alumno del colegio Edith Stein ejecutando el juego de la casita de las ranas.

Materiales.                                                                                  Alumna realizando el juego.

Objetivos: Desarrollar estrategias de enumeración.

Saber matemático: Concebir una colección, enumerar una colección.

Problema que se plantea: Que los alumnos sean capaces de pasar por cada punto del tablero una y sólo una vez, es decir, enumerar.

Consigna: “Voy a presentaros un juego para el que tendréis que buscar una manera de ganar. Aquí hay un tablero con puntos dibujados en él. Primero, tendréis que poner una y sólo una rana sobre cada punto y taparla con una casita. Después, deberéis sacar cada rana y volver a colocar la casita encima del punto (el maestro hace un ejemplo del proceso). Para ganar, levantaréis todas las casitas y no debe quedar ninguna rana sobre los puntos del tablero, las casitas deben estar vacías en su interior.”

Posibles estrategias de los alumnos:

  • Colocar casitas y ranas sin ninguna organización.
  •  Colocar casitas y ranas siguiendo un orden (haciendo filas o círculos, yendo de izquierda a derecha o viceversa).
  •  Estructuración mental: saber por los puntos por lo que ya ha pasado.



Conclusiones de ambos juegos:

A través del empleo de estas técnicas los niños irán siendo conscientes de si éstas les llevan al éxito o no de la actividad, en caso de cometer un error en la técnica y perder el juego, efectuarán un cambio de estrategia en el siguiente intento. Esto es construcción matemática autónoma del niño.

Los niños son los responsable del juego, cada alumno decide qué técnica utilizar, el maestro solo ha sido facilitador de dichas situaciones. Asimismo, cada niño valida el resultado obtenido siendo consciente por sí mismo de si ha ganado o perdido el juego.

Al finalizar el juego se realiza un análisis de los resultados y los propios alumnos explican a sus compañeros cómo lo han hecho, de este modo no siempre la respuesta del maestro es la única válida.

Para concluir este artículo de reflexión acerca de los procesos de enseñanza-aprendizaje de las matemáticas en las aulas de Educación Infantil, animo a todos los maestros a que descubran e investiguen nuevas metodologías en el ámbito de las matemáticas con sus alumnos, que no se conformen con la mera transmisión de conocimientos o con las metodologías que se trabajan en las aulas por el hecho de ser lo que se ha hecho siempre.

Como decía Guy Brousseau (1986), el alumno aprende adaptándose a un medio que es fuente de contradicciones, de dificultades, de desequilibrios, algo parecido a la sociedad humana. Este saber fruto de la adaptación del alumno se manifiesta por respuestas nuevas que son la prueba del aprendizaje.

La única solución realista reside en tratar de persuadir de forma racional a los ciudadanos para que entiendan que prescindir de las matemáticas puede empobrecer crucialmente nuestra comprensión y reducir drásticamente la calidad de nuestra implicación, tanto en el mundo natural como social (Chevallard, 2013).

Marta Rada Cimorra.
Maestra de Ed. Infantil y Graduada en Ed. Primaria con Mención en Lengua Extranjera (Inglés).
Máster en Orientación e Intervención Psicopedagógica.
Colegio Edith Stein.
Comunidad de Madrid.

 

Referencias bibliográficas:

Bosch, M., García, F. J., Gascón, J., & Higueras, L. R. (2006). La modelización matemática y el problema de la articulación de la matemática escolar. Una propuesta desde la teoría antropológica de lo didáctico. Educación matemática, 18(2), 37-74.

Brousseau, G. (1986). Fundamentos y métodos de la Didáctica de la Matemática. Recherches en didactique des mathematiques, 7(2), 33-115.

Brousseau, G. (1994). Problemes et resultats de Didactique des Mathématiques. ICME Study.

Brousseau, G. (1998). Théorie des Situactions Didactiques. Grenoble: La Pemsée Sauvage.

Chevallard, Y. (1985). La transposition Didactique. Du savoir savant au savpir enseigné. Grenoble: La Pensée Sauvage.

Chevallard, Y. (1999). El análisis de las prácticas docentes en la teoría antropológica de lo didáctico. Recherches en didactique des mathématiques, 19(2), 221-266.

Chevallard, Y. (2004). Vers une didactique de la codisciplinarité. Notes sur une nouvelle épistémologie scolaire.

Chevallard, Y. (2013). Enseñar matemáticas en la sociedad de mañana: Alegato a favor de un contraparadigma emergente. Journal of Research in Mathematics Education, 2(2), 161-182.

Ruiz Higueras, L. (2005). Aprendizaje y Matemáticas. La construcción del conocimiento matemático en la Escuela Infantil. En Chamorro, C. (ed) Didáctica de las matemáticas-infantil. Madrid, Pearson.

Ruiz Higueras, L., García, F. J., & Lendínez Muñoz, E. M. (2013). La actividad de modelización en el ámbito de las relaciones espaciales en la Educación Infantil. EDMA 0-6. Vol.2.

 

    

Marta Rada Cimorra.
Maestra de Ed. Infantil y Graduada en Ed. Primaria Colegio Edith Stein.
Comunidad de Madrid. 

Foto de la autora Marta Rada Cimorra. Maestra Educación Infantil. Colegio Edith Stein