Geometría de 1º de ESO

Ficheros adicionales

• Razones trigonométricas

Ficheros adicionales

• Trigonometría

Ficheros adicionales

• Ecuaciones trigonométricas
• Problemas de Trigonometría

La circunferencia tiene radio 1(circunferencia goniométrica) por lo que OB=OB'=1

PRIMER CUADRANTE

$$\begin{gathered} sen \alpha =\frac{AB\text{'}}{OB\text{'}}=AB\text{'} \\ \cos \alpha =\frac{OA}{OB\text{'}}=OA \\ tg \alpha = \frac{AB\text{'}}{OA}=\frac{BE}{OB}=BE por la semejanza de los triángulos OAB\text{'}y OBE \end{gathered}$$

SEGUNDO CUADRANTE

$$\begin{gathered} sen (180-\alpha )=sen \alpha \\ \cos (180-\alpha )=-\cos \alpha \end{gathered}$$

TERCER CUADRANTE

$$\begin{gathered} sen (180+\alpha )=-sen \alpha \\ \cos (180+\alpha )= -\cos \alpha \end{gathered}$$

CUARTO CUADRANTE

$$\begin{gathered} sen (360-\alpha )=-sen \alpha \\ \cos (360-\alpha )= \cos \alpha \end{gathered}$$

Ficheros adicionales

• R.Trigonométricas de un ángulo cualquiera

El Teorema del seno nos dice que:

$$\begin{gathered} \frac{a}{sen A}=\frac{b}{sen B}=\frac{c}{sen C} \\ Si la incónita es uno de los ángulos del triángulo, puede haber dos soluciones ya que entre 0^0 y {180}^0 \\ hay dos ángulos que tienen el mismo seno: uno agudo y el otro obtuso. Mira el dibujo siguiente: \end{gathered}$$

Veamos la demostración del seno de la suma de dos ángulos :

$$\begin{gathered} Consideremos AB= 1. En el triángulo ABC: \\ AC=\cos \beta \left(1\right) \\ BC=sen \beta \left(2\right) \\ En el triángulo ABF: \\ BF=sen (\alpha +\beta ) =ED \left(3\right) \\ En el triángulo ACE \\ sen \alpha = \frac{CE}{AC}. Luego: CE=AC\times sen \alpha = \cos \beta \times sen \alpha por \left(1\right) \\ En el triángulo BCD: \\ \cos \alpha = \frac{CD}{BC}. Luego: CD= BC\times \cos \alpha =sen \beta \times \cos \alpha por \left(2\right) \\ Si sumamos CE+CD= \cos \beta \times sen \alpha +sen \beta \times \cos \alpha \\ Como CE+CD=ED y por \left(3\right): \\ sen (\alpha +\beta )= \cos \beta \times sen \alpha +sen \beta \times \cos \alpha \end{gathered}$$