Saltar al contenido

Visor

Las cónicas en nuestro entorno - Una secuencia didáctica

Un alumno repetidor me comentaba a principio de curso que lo que menos le gustó el año pasado fueron las cónicas. No me lo podía creer...uno podría esperar que fuera la derivada la temible enemiga del entusiasmo estudiantil...pero las secciones cónicas no. ¡Si Apolonio levantara la cabeza...!

Total, que este curso he decidido darlo todo en este tema, para intentar transmitir algo de la pasión que siento por estas maravillosas curvas. Pero el tiempo es el que es. En un curso con tantos contenidos como 1º Bach, no se puede ir improvisando demasiado.

El objetivo que me propuse fue realizar una exposición de posters divulgativos en la que los alumnos:

  • Salieran a su entorno con las gafas de buscar cónicas puestas móvil en ristre.
  • Que luego exploraran la cónica con geogebra buscando sus elementos notables.
  • Y que explicasen todo en formato de poster científico.

Y todo ello...en 8 días de clase. Uffff. No hay mucho más margen en Matemáticas I. Pero una buena planificación puede con todo.

El resultado final es para estar orgulloso. Si quieres, salta a la última sección de esta entrada para comprobarlo por tí mismo. Si prefieres ver los detalles de las 8 sesiones que dieron lugar a ello...sigue leyendo.

Día 1: Una linterna y... ¡acción!

No hay mejor manera para introducir las cónicas y que más llame la atención de alumnos...y profesores de guardia. Los alumnos bajan persianas, apagan luces y el profe saca su linterna:

Linterna a oscurasAunque lo cierto es que ya las linternas led no proyectan un cono de luz como las antiguas bombillas incandescentes...pero el efecto que se consigue es casi idéntico. La idea es cambiar el cono por el cono de luz y el plano de corte por la pizarra iluminada para descubrirles las cuatro curvas.

Me gusta provocar a mis alumnos haciéndoles ver que nunca, casi nunca ven circunferencias. Que todo lo que ven, casi todo, son elipses. Desde el reloj de pared, la papelera, la taza del desayuno. Porque lo raro, raro, raro es tener a la circunferencia justo en el plano vertical a la misma altura del entrecejo. Y es que el cerebro nos engaña de forma casi continua.

Esta sesión resulta ideal para presentarles y motivarles con la propuesta de la primera parte del proyecto:

Buscar su cónica, hacer una foto, importarla en geogebra, colocar cinco puntos sobre la curva en cuestión, trazar la cónica por cinco puntos...et voilá. Geogebra hace magia.

Para poder guiarles un poco, les dejé este vídeo que tenía grabado hace ya:

Y para poder hacer un seguimiento paulatino de los pósteres finales configuré una entrega de esta primera parte del trabajo. Algunas de las propuestas de los alumnos me sorprendieron, más si cabe por las escasas indicaciones que yo les había dado en sólo una clase y con el escaso margen (el fin de semana):

Días 2, 3 y 4: una clase, una cónica

Las tres clases siguientes me dediqué a destripar los entresijos de la elipse, hipérbola y parábola. Una cónica, un día. El applet de Pablo Triviño y Álvaro Fernández es super eficaz para ello:

Y seguí aprovechando para ilustrar nuevos ejemplos de análisis de imágenes de cónicas en geogebra, ya incluyendo todos sus elementos: focos, directriz, ejes, asíntotas, ecuación reducida, excentricidad... Por ejemplo, todo ello en una taza de café:

A la hora de ilustrar la parábola sucedió,  sin embargo, algo que os sorprenderá:

Un chorro de agua

Todo marchaba según lo previsto en la clase de la parábola: típico ejemplo de fuente, cónica por cinco puntos en geogebra, directriz, foco y eje...

Parábola en una fuente

Pero...¡Sorpresa!

El problema vino a la hora de comprobar la equidistancia de un punto a directriz y foco. No cuadraba:

No cuadra la definición de la parábolaEfectivamente, pusieras donde pusieras el punto de la parábola, la distancia a la directriz y al foco no coincide. Pero...¿por qué?

Indicación: La respuesta está en la siguiente imagen del carrusel. ¡No pases a ella hasta que hayas encontrado una respuesta!

El motivo: no todo es lo que parece

No todo es lo que parece. Y lo que podía parecer una parábola...

Una hipérbola disfrazada de parábolaresulta que era una hipérbola disfrazada de parábola.

Un acertijo para el aula

Lo que comenzó como un error fortuito se puede transformar en una interesante actividad de aula:

En las siguientes cuatro imágenes hay una circunferencia, una elipse, una parábola y una hipérbola. ¿Serías capaz de identificar cuál es cuál?

Una cónica incógita 1 Una cónica incógnita 2
Una cónica incógita 3 Una cónica incógnita 4
Antes de pasar a la siguiente pestaña...haz tu apuesta.

La solución

La solución puede que te sorprenda:

Respuesta al acertijo de las 4 cónicas

Día 5: del geogebra a inkscape

El quinto día de la secuencia lo dediqué, en la sala de ordenadores, a que los alumnos comenzaran a diseñar el poster para la exposición. Para ello previamente les había pedido que fueran preparando las imágenes que querían incorporar. Como muchos no tenían experiencia con el programa de diseño vectorial Inkscape, les facilité el siguiente videotutorial para la tarde anterior:

Una hora se pasa volando, pero sirve para arrancar el poster y poder resolver las primeras dudas. Les di de plazo el fin de semana, lunes y martes para que remataran la faena y realizaran una primera entrega. Aproveché para hacer correcciones de cara a las entregas finales. Siempre hay detalles que pulir. Y siempre se aprende más con entregas parciales y mucha retroalimentación que con una única entrega final sin posibilidad de retocar nada.

Días 6, 7 y 8: la circunferencia, enlazamos con álgebra y prueba final

Una de las cuestiones más importantes para desarrollar las destrezas matemáticas es la creación de conexiones entre las distintas partes de la materia. Por eso, y porque los contenidos a cubrir en 1º de Bachillerato son abrumadoramente extensos, no me gusta dedicar tiempo exclusivo a trabajar álgebra. Los sistemas de ecuaciones lineales, no lineales, inecuaciones de una o dos incógnitas...todo ello se puede trabajar en distintas partes del currículo.

Las cónicas ofrecen una oportunidad ideal para resolver sistemas de ecuaciones no lineales en un contexto geométrico.

Y este applet que ha diseñado Débora Pereiro es ideal para que los alumnos trabajen de manera autónoma con los  portátiles y sus cuadernos.

Le estoy profundamente agradecido por haber adaptado su applet original incluyendo la posibilidad de visualizar los elementos de las cónicas que aparecen en los sistemas de ecuaciones.

Dediqué un día a introducir la ecuación de la circunferencia, a hacer ejercicios varios relativos a ella y a presentarles el applet de Débora. El siguiente estuvimos trabajando primero en gran grupo y después por grupos de 4 algunas de los sistemas que aparecen. El último día les propuse una prueba evaluable corta en la que debían resolver un sistema no lineal, representarlo y determinar los elementos que aparecen en las dos cónicas. Trabajar con un applet que visualiza las soluciones y su representación gráfica permite dar independencia a los alumnos y al profesor poder resolver dudas de forma mucho más pormenorizada.

Y la exposición final...

Para terminar la entrada del blog, os muestro algunos de los pósteres finales e imágenes de la exposición, que montamos en un recreo y pico gracias al apoyo de varios alumnos del curso.

Cartel Exposición Cónicas en nuestro entorno

La exposición

La exposición - Visión general

Una guitarra

Poster Hipérbola - Andrea

Una rotonda

Una rotonda - Una elipse

Una mano

Hipérbola - La mano

Una batería

Una batería

Un decantador

Un decantador

Una vidriera

Elipse en una vidriera

La luz de una lámara

La luz de una lámpara

En el tintero quedó dedircar un día a hablar de un resultado que me parece mágico: las esferas de Dandelín. Si os interesan, en su día grabé este vídeo.

Si me sobra algún día del trimestre, tengo este as en la manga. Conectar de una manera tan elegante la construcción de las cónicas como sección del cono y como lugar geométrico merece un ratito de clase ¿Llegará ese momento?

Con esta entrada - secuencia didáctica participo en el en el @CarnaMat organizado en esta edición #CarnaMat13_1 por @Rafalillo86.