La batalla de las ecuaciones/The Battle Of Equations

Figura 1. Las 16 ecuaciones concursando en The Battle of Equations (La Batalla de las Ecuaciones), actividad online organizada por el Perimeter Institute de Canadá.

¿Cómo sería una batalla en la que no hubiera tiros, sino solamente decidiéramos quién gana por la importancia y la belleza de una ecuación matemática o de la Física? El Perimeter Institute (PI) de Canadá ha organizado una interesante competición online, denominada The Battle of Equations (BOE), La Batalla de las Ecuaciones, para decidir qué ecuación ganaría en una "contienda puramente intelectual". 

El PI ha seleccionado 16 ecuaciones de la Física, Química y Matemáticas, y anda haciendo sucesivas "rondas de combate". En unos días, sabremos la ecuación ganadora que saldrá de las siguientes dos finalistas de la lista arriba indicada: el teorema de Noether (versión hamiltoniana) y las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo. ¡Hágase la luz! Fiat lux! ¿Cuál elegiríais vosotros? ¿Cuál es la ecuación más bonita?¿La más importante? ¿Son todas útiles? ¿Debe una ecuacións ser útil?

Las 16 ecuaciones de La Batalla de las Ecuaciones

Figura 2. La lista inicial.

Los contendientes son los que siguen (se hace una breve descripción de su relevancia, aplicaciones e implicaciones):

Ecuación 1. Relación energía-momento-masa en la Teoría Especial de la Relatividad. $E^2=(pc)^2+(mc^2)^2$ ilustra la equivalencia entre masa y energía, cuando $p=0kgm/s$, o la equivalencia entre energia-momento-masa, mostrando que esos 3 conceptos son 3 caras de las misma moneda: energía, movimiento y masa son tres lados de una misma realidad física.

Ecuación 2. Las ecuaciones de Maxwell (finalista). Las 4 ecuaciones de Maxwell, escritas en formato vectorial, rigen las leyes de todo el electromagnetismo. Desde la luz (una parte restringida del espectro electromagnético), que se propaga en el vacío a una velocidad de 300000 km/s, pasando por los microndas, la refracción de un prisma o una lente, hasta los rayos gamma, los infrarrojos, la radio, el ultravioleta, los rayos X, internet, las fibras ópticas,...Una gran parte de nuestra actual tecnología se debe al dominio de las leyes electromagnéticas que Faraday, Lenz, Hertz y otros estudiaron, y que James C. Maxwell sintetizó como sigue:

$\nabla \cdot \vec{E}=\dfrac{\rho}{\varepsilon_0}$

$\nabla \cdot \vec{B}=\vec{0}$

$\nabla\times \vec{E}=-\dfrac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

$\nabla \times \vec{B}=\mu_0\left(\vec{j}+\varepsilon_0\dfrac{\partial \vec{E}}{\partial t}\right)$

De hecho, aunque las ecuaciones de Maxwell escritas así parecen 4, ocultan realmente 8 ecuaciones escalares, ya que los campos eléctricos $\vec{E}(\vec{r},t)$ y magnéticos $\vec{B}(\vec{r},t)$ son campos vectoriales con 3 componentes. Además, es necesario suplementar las ecuaciones de campo anteriores con la conservación de la carga eléctrica, dada por la ecuación de continuidad

$\vec{\nabla}\cdot\vec{j}=-\dfrac{\partial \rho}{\partial t}$

Las ecuaciones de Maxwell pueden reescribirse en un formalismo tensorial tetradimensional como dos simples ecuaciones

$\partial_\mu F^{\mu\nu}=4\pi\dfrac{j^\nu}{c}$

$\varepsilon^{\mu\nu\sigma\tau}\partial\nu F_{\sigma\tau}=0$

o equivalentemente, en un formalismo tetradimensional en términos de p-formas mediante

$dF=0$

$\star \delta\star F=J$

En los finales del siglo XX, y principios del siglo XXI, algunos autores han logrado escribir las ecuaciones de Maxwell de forma compacta usando UNA simple ecuación. En la primera versión, las ecuaciones de Maxwell usan la estructura algebraica de los los octoniones de Graves o números de Cayley:

$\nabla F=J$

mientras que la segunda versión generalizada, usa la formulación del álgebra geométrica (o álgebras de Clifford) en $\mathbb{R}^4$, denominada $C(3,1)$, bajo la expresión formal

$\partial F=\left(\partial\cdot +\partial\wedge\right) F=j$

Finalmente, mencionar que las ecuaciones de Maxwell admiten generalizaciones no triviales cuando hay topologías y defectos en las fuentes, o también cambian ligeramente en dimensiones superiores y hay teorías gauge más complicadas (eso llevaría a hablar de las ecuaciones de Yang-Mills). Así, las ecuaciones de Maxwell generalizadas, pueden admitir objetos como los legendarios y misteriosos monopolos magnéticos, generalizaciones llamadas p-branas (objetos extensos de dimensión espacial $p$; p=0 es un punto, p=1 una cuerda, p=2 una membranan...), términos topológicos denominados de Chern-Simons (abelianos y no abelianos) ligados a la existencia de términos que incumplen o violan la simetría combinada de inversión de carga y de paridad (simetría CP), junto a generalizadiones de los mismos, permitiendo entonces la presencia de axiones u objetos similares. También pueden formularse las ecuaciones de Maxwell para objetos cargados de mayor dimensión de espacio (o de tiempo). Por ejemplo,

$dF_{p}=0$

$F_{p+1}=dA_{p}$

En este caso, hay una versión de electromagnetismo abeliano aunque de mayor dimensión, y resulta útil en teorías como la teoría de supercuerdas, la teoría M o la teoría F. Una cuerda cargada por electromagnetismo sastisface una versión con $p=2$ de las ecuaciones anteriores. En tales casos, los campos electromagnéticos de la cuerda se denominan de Kalb-Ramond.

La generalización no abeliana de las ecuaciones de Maxwell, son las llamadas ecuaciones de Yang-Mills, y tienen un aspecto muy similar (aunque tienen propiedades diferentes como autoacoplos, y son más difíciles de resolver):

$D_AF=0$

$\star D_A\star F=J$

$F_A=dA+A\wedge A$

Ecuación 3. La ecuación de Schrödinger (semifinalista). La ecuación de Schrödinger, la ecuación esencial de la Mecánica Cuántica. Describe determinísticamente cómo evoluciona la función de onda. A pesar de que la función de onda es un objeto no determinista, su evolución sigue reglas deterministas.

$i\hbar \dfrac{\partial \Psi}{\partial t}=H\Psi(\vec{r},t)$

Ecuación 4. La segunda ley de Newton para sistemas inerciales y de masa constante. $\vec{F}=m\vec{a}$. ¿Sabes cuáles son las fuerzas que actúan sobre un objeto o sistema de masa $m$ constante, entonces puedes saber cómo se mueve en el futuro. Publicada en sus Principia, Newton revolucionó el conocimiento de la Física al aplicar dicha ley no solamente a los cuerpos terrestres, sino a los cuerpos celestes, una vez establecida su ley de gravitación universal.

Ecuación 5. El teorema de Noether (finalista), en versión hamiltoniana.

$\left\{H,I\right\}=\dfrac{\partial H}{\partial t_I}=0\rightarrow \left\{I,H\right\}=\dfrac{dI}{dt}=0$

Emmy Noether estableció posiblemente uno de los resultados más profundos en la Física matemática contemporánea en el siglo XX. Mostró que las leyes de conservación están conectadas inexorablemente a principios o leyes de invariancia. Enunció dos teoremas, originalmente en formulación denominada lagrangiana, en la que específicamente probó dos teoremas:

1) Teorema 1 de Noether (simetrías contínuas de grupos finitos, y leyes de conservación). La invariancia de un un objeto llamado integral de acción, equivalentemente la cuasiinvarianza del integrando de la acción, llamado lagrangiano, bajo un conjunto de transformaciones continuas paramétricas (generalmente con estructura matemática de grupo con un grupo finito de parámetros), implica de forma inevitable la existencia de cantidades o magnitudes que no cambian con el tiempo, i.e., constantes. Y recíprocamente, la existencia de dichas constantes implica necesariamente la existencia de simetrías o invariancias de la acción, cuasiinvarianzas del lagrangiano.

2) Teorema 2 (simetrías contínuas de grupos infinitos, e identidades funcionales entre las ecuaciones dinámicas). La invariancia de un objeto llamado integral de acción, equivalente la cuasiinvarianza del integrando de la acción, llamado lagrangiano, bajo un conjunto de transformaciones dadas por funciones (generalmente con estructura matemática de grupo infinito de funciones), implica de forma inevitable la existencia de relaciones o identidades funcionales entre las ecuaciones dinámicas del sistema, que ella (Emmy Noether) denominó dependencias, pero que hoy día llamamos identidades de Noether.

Ecuación 6. El principio de incertidumbre o indeterminación de Heisenberg. Debido al carácter no determinista de la función de onda, y la dinámica de las ecuaciones cuánticas, hay unos límites a la precisión con la que se pueden medir simultáneamente varios observables mecanocuánticos. Para la posición y el momento,

$\Delta x\Delta p\geq \dfrac{\hbar}{2}$

y la indeterminación en la posición de la partícula implica una indeterminación en el momento $p=mv$ de la misma. Contra mejor se conoce una, peor se conoce la otra, en un experimento simultáneo. No aplica a experimentos separados (lo cual es causa de confusión frecuente).

Ecuación 7. La segunda ley de la Termodinámica. $\Delta S\geq 0$. ¿Por qué se desordena la habitación? ¿Por qué envejecemos? ¿Por qué se enfría el Universo? La razón es la segunda ley de la Termodinámica, que indica que para sistemas cerrados y aislados, la entropía no puede decrecer, sino solamente permanecer inalterada o aumentar con el transcurso del tiempo.

Ecuación 8. Las ecuaciones de campo de Einstein (semifinalista). El espacio-tiempo le dice a la materia-energía cómo moverse, la materia-energía le dice al espacio-tiempo como curvarse o deformarse. La teoría gravitacional de Einsteins señala que la gravedad es el efecto de la curvatura del espacio-tiempo en el que vivimos. De forma compacta, las ecuaciones de campo de Einstein se escriben:

$G_{\mu\nu}+\Lambda g_{\mu\nu}=\dfrac{8\pi G}{c^4}T_{\mu\nu}$

donde se ha puesto explícitamente el término cosmológico al lado izquierdo (que hoy día se escribe al lado derecho y se interpreta como la denominada energía oscura).

Ecuación 9. La ecuación de Dirac (para un espinor). Enunciada por P. A. M. Dirac en el siglo XX, es la ecuación relativista que describe las partículas como el electrón y otras varias. Predice la existencia de la antimateria, que fue descubierta años después (el positrón) de la formulación de la ecuación, en un experimento de observación de rayos cósmicos.

$i\hbar\gamma^\mu\partial_\mu \Psi-mc\Psi(x,y,z,t)=0$.

Ecuación 10. La ley de gravitación universal de Newton en un espacio de 3+1 dimensiones de espacio-tiempo. Enunciada por Sir Isaac Newton, establece la conocida dependencia de la fuerza gravitacional con la masa de los objetos y la distancia entre los mismos. Para el espacio euclídeo 3d (o el espacio-tiempo 4d) adquiere la forma

$\vec{F}=-G_N\dfrac{Mm}{r^2}\vec{u}_r$

Ecuación 11. Las ecuaciones de Friedmann, para un universo homogéneo e isótropo. ¿Quieres saber el destino del Universo? Solamente debes conocer los tipos de materia y energía que hay en el mismo (supuesto homogéneo e isótropo), su curvatura, la ecuación de estado y el ritmo de expansión. Aplica luego estas ecuaciones y podrás determinar el futuro cósmico.

$\left(\dfrac{\dot a}{a}\right)^2=\dfrac{8\pi G}{3}\rho -\dfrac{k}{a^2}+\dfrac{\Lambda}{3}$

$\dfrac{\ddot{a}}{a}=-\dfrac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)+\dfrac{\Lambda}{3}$

Ecuación 12. La entropía de Boltzmann. ¿Por qué hay entropía en el Universo? La clave es pensar que el Universo macroscópico es el resultado de las diferentes combinaciones de partículas existentes a nivel microscópico (átomos, moléculas...). En un ejercicio de intuición e imaginación increible, así como de un talento matemático sin par, Ludwig Boltzmann determinó la conexión entre la entropía y el número de posibles configuraciones microscópicas compatibles con un sistema, justificando la Termodinámica mediante la teoría atómico-molecular. "Si tiene entropía, puedes calentarlo". Matemáticamente, la ecuación que está en la lápida de Boltzmann (tras un suicidio inducido por depresión generada por bullying académico)

$S=k_B\ln\Omega$

Ecuación 13. La relación de Planck-Einstein. La ecuación que relaciona el carácter ondulatorio y corpuscular de la luz está dada por la celebérrima relación de Planck y de Einstein:

$E=hf=\dfrac{hc}{\lambda}$

donde $f=\nu$ es la frecuencia del fotón, y $\lambda$ su longitud de onda. $h$ es la constante de Planck, y $c$ la velocidad de la luz. De esta misma expresión se deduce que la luz tiene un momento $p=E/c=hk$.

Ecuación 14. La fórmula de Euler. La denominada algunas veces "ecuación más bella de las Matemáticas", relaciona las dos funciones más importantes de la trigonometría plana con la exponencial de los números complejos. No directamente en la Física (o Química), resulta de utilidad en Ingeniería para la descripción de fasores y circuitos oscilantes, es útil en la mnemotecnia de ecuaciones trigonométricas de forma compacta, y es esencial en la parametrización de los elementos de grupos de Lie (abelianos y no abelianos). En la Física Cuántica, también es esencial para la comprensión de la evolución unitaria de la función de onda.

$e^{i\theta}=\cos\theta +i\sin\theta$

Ecuación 15. Las ecuaciones de Hamilton. En una formulación matemática diferente pero equivalente a la formulación habitual de Newton, se pueden describir los sistemas o partículas, y sus movimientos, mediante la denominada formulación hamiltoniana. Usando una función u operador matemático llamado hamiltoniano $H(x,p)$, se puede describir cómo evolucionan de forma simétrica tanto la posición como el momento de una partícula o sistema, bajo ciertas consideraciones.

$\dfrac{dp}{dt}=-\dfrac{\partial H}{\partial x}$

$\dfrac{dx}{dt}=+\dfrac{\partial H}{\partial p}$

Ecuación 16. La ley de Stefan-Boltzmann, en formato luminosidad-radio estelar. Un obejto caliente emite ondas electromagnéticas con cierta potencia o luminosidad. Para una estrella, planeta o cuerpo de radio $$R$, dicha potencia o luminosidad está relacionada con la temperatura absoluta mediante la relación matemática

$L=4\pi R^2\sigma T^4$

La dependencia a la cuarta potencia, también está ligada al hecho de que el mundo y Universo observado es, aparentemente, 3+1 dimensional (3 dimensiones espaciales, y una dimensión temporal).

¡Que las ecuaciones os acompañen, ahora y siempre!

Figura 3. Ecuación ganadora: el teorema de Noether-hamiltoniano. La simetría e invariancia vuelven a ganar. 2022 Physics frenzy champion. March Madness.

Referencias

[1] Physics Frenzy: Battle of the Equations. Help us crown the all-time greatest physics equation with a March Madness-style showdown for the ages!  Traducción-> Frenesí de la física: Batalla de las ecuaciones. ¡Ayúdanos a coronar la ecuación física más grande de todos los tiempos con un enfrentamiento al estilo March Madness para las edades! https://insidetheperimeter.ca/physics-frenzy-battle-of-the-equations

Artículo escrito y editado por Juan F. González.