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Fortuna y gloria: la hipótesis de Riemann

Figura 1. El matemático B. Riemann, autor de trabajos como la geometría no euclídea y sus fundamentos, o la más célebre conjetura sin demostrar de las Matemáticas. La denominada hipótesis de Riemann.

Uno de los problemas sin resolver en Matemáticas más célebres es la llamada hipótesis de Riemann. Hace aproximadamente 150 años, el matemático B. Riemann postuló que los "ceros" o valores de una función de variable compleja z=a+bi, i=-1,, llamada función zeta de Riemann, solamente podrían tener dos opciones: una trivial y otra no trivial. La función zeta de Riemann se define en el plano complejo como la serie:

ζ(z)=n=1n-z=n=11nz=p=2,prime11-p-z=p,prime(1-p-z)-1

B. Riemann demostró que los ceros triviales de esta función, números que hacen que ζ(z)=0 , eran los números enteros negativos pares, es decir, θn=-2n, n=1,2,3,...,, son tales que ζ(θn)=ζ(-2n)=0, y debido a una relación funcional de la función zeta y ciertas computaciones numéricas que realizó a mano (no había ordenadores ni máquinas de cálculo hace 150 años), sugirió que los denominados ceros no triviales de la función zeta se hallaban todos situados en la línea del plano complejo que satisface  R(z)=12. Así pues, B. Riemann sugirió el problema de demostrar por qué todos los ceros no triviales tenían la expresión (correspondiente a una línea vertical en el plano complejo con parte real igual a 0.5):

αn=12+iλn, n=1,2,3,...,

de forma que ζ(αn)=0, y calculó manualmente los primeros valores de λn . No pudo demostrar la hipótesis, y los primeros ordenadores modernos, comprobaron la hipótesis de Riemann con miles de millones de ceros no triviales alineados en la anterior línea vertical, pero eso no es una demostración. Podría ocurrir que por alguna razón un cero se desalineara, aunque no parece probable.

La función zeta de Riemann está íntimamente relacionada con la distribución de números primeros, y tiene conexiones con la rama más pura de las Matemáticas, llamada Teoría de Números, ya que es un ejemplo sencillo de una clase general de funciones denominadas L-series, funciones modulares en el plano complejo, y que tienen generalizaciones más sofisticadas llamadas polilogaritmos y polizeta cuyas propiedades parecen conectarse con las descripciones más abstractas de la Naturaleza por parte de los Físicos. Irónicamente, los físicos establecieron conexiones con la función zeta durante el siglo XX en dos (tres) ramas incompletas:

1. La teoría de matrices aleatorias. Dyson (fallecido no hará mucho tiempo), especuló con la relación de la distribución de ceros no triviales y la llamada teoría de matrices aleatorias, rama abstracta de la probabilidad en Matemáticas.

2. La descripción cuántica de núcleos pesados. Hilbert y Polya, matemáticos, especularon con la conexión de la hipótesis de Riemann y la descripción cuántica de ciertos sistemas (núcleos pesados, o también cierta clase de sistemas masivos), sugiriendo que los ceros no triviales correspondían a los llamados autovalores de un operador hermítico cuántico de carácter hamiltoniano. Desde entonces, esta conjetura relacionada con la hipótesis de Riemann se llama conjetura de Hilbert-Polya, y es uno de los ingredientes del ataque a la demostración de la hipótesis de Riemann, que ha sido abordada por varios investigadores.

3. El caos en física cuántica.

En un paso adicional hacia la demostración de la hipótesis de Riemann, investigadores han publicado recientemente una conexión aún más profunda de la hipótesis de Riemann con la Física, mediante el denominado movimiento browniano.

En un artículo reciente Giuseppe Mussardo and Andre Leclair muestran que hay una extremadamente elegante explicación del alineamiento de los ceros no triviales, debido a un fenómeno inesperado: el movimiento caótico del movimiento browniano y las leyes de la probabilidad que subyacen al mismo (sugiriendo además que es universal a la funciones de Dirichlet o L-series antes mencionadas), Mussardo and Leclair prueban la que si este comportamiento existe, entonces satisfacerá la hipótesis de Riemann. Aunque no es una demostración definitiva, porque no pueden excluir en su artículo la hipótesis de que tal conexión falle...En el resumen de su artículo y su texto dejan claro que  "(...)we can conclude that while a violation of the RH is strictly speaking not impossible, it is however extremely improbable".

Además, hay también una razón más lucrativa para demostrar la hipótesis de Riemann. La fundación Clay ofrece un millón de dólares por una demostración de la Hipótesis de Riemann (es uno de los 6 problemas del milenio por resolver de los 7 por  los que dicha fundación ofrece 1 millón de dólares; la conjetura de Poincaré fue demostrada por G. Perelman, que rechazó el premio).

¿Queréis fortuna? Demostrad la hipótesis de Riemann. ¿Queréis gloria? Demostrad la hipótesis de Riemann.

Redactor de la noticia: Juan F. González.

Referencias

[1] Fuente del artículo original: "The Riemann conjecture unveiled by physics", by SpaceDaily. Disponible en la URL: https://www.spacedaily.com/reports/The_Riemann_conjecture_unveiled_by_physics_999.html

[2] Giuseppe Mussardo and André LeClair,  "Randomness of M ̈obius coefficents and Brownian Motion:
Growth of the Mertens Function and the Riemann Hypothesis". Podéis consultar el artículo (en inglés) en la URL: https://arxiv.org/pdf/2101.10336.pdf