Matemáticas y naturaleza
LAS MATEMÁTICAS EN LA NATURALEZA
¡Bienvenidos!
Queremos dar una visión diferente de las, definidas por muchos, "frías Matemáticas", dando ejemplos de donde podemos encontrarla en nuestro entorno.
Fibonacci y sus números
A finales del siglo XII, la república de Pisa es una gran potencia comercial, con delegaciones en todo el norte de Africa. En una de estas delegaciones, en la ciudad argelina de Bugía, uno de los hijos de Bonaccio, el responsable de la oficina de aduanas en la ciudad, Leonardo, es educado por un tutor árabe en los secretos del cálculo posicional hindú y tiene su primer contacto con lo que acabaría convirtiéndose, gracias a él, en uno de los más magníficos regalos del mundo árabe a la cultura occidental: nuestro actual sistema de numeración posicional.
Leonardo de Pisa, Fibonacci, nombre con el que pasará a la Historia, aprovechó sus viajes comerciales por todo el mediterráneo, Egipto, Siria, Sicilia, Grecia..., para entablar contacto y discutir con los matemáticos más notables de la época y para descubrir y estudiar a fondo los Elementos de Euclides, que tomará como modelo de estilo y de rigor.
De su deseo de poner en orden todo cuánto había aprendido de aritmética y álgebra, y de brindar a sus colegas comerciantes un potente sistema de cálculo, cuyas ventajas él había ya experimentado, nace, en 1202, el Liber abaci, la primera summa matemática de la Edad Media.
En él aparecen por primera vez en Occidente, los nueve cifras hindúes y el signo del cero. Leonardo de Pisa brinda en su obra reglas claras para realizar operaciones con estas cifras tanto con números enteros como con fracciones, pero también proporciona la regla de tres simple y compuesta, normas para calcular la raíz cuadrada de un número, así como instrucciones para resolver ecuaciones de primer grado y algunas de segundo grado.
Pero Fibonacci es más conocido entre los matemáticos por una curiosa sucesión de números:
1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89....
que colocó en el margen de su Liber abaci junto al conocido "problema de los conejos" que más que un problema parece un acertijo de matemáticas recreativas. El problema en lenguaje actual diría:
"Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?."
En este gráfico vemos que el número de parejas a lo largo de los meses coincide con los términos de la sucesión.
Veamos con detalle estos números. 1; 1; 2; 3, 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89, 144....
=1.618039....Pero los números de la sucesión de Fibonacci van a sorprender a todos los biólogos.
Como muy bien nos enseña la filotaxia, las ramas y las hojas de las plantas se distribuyen buscando siempre recibir el máximo de luz para cada una de ellas. Por eso ninguna hoja nace justo en la vertical de la anterior. La distribución de las hojas alrededor del tallo de las plantas se produce siguiendo secuencias basadas exclusivamente en estos números.
El número de espirales en numerosas flores y frutos también se ajusta a parejas consecutivas de términos de esta sucesión: los girasoles tienen 55 espirales en un sentido y 89 en el otro, o bien 89 y 144.
Las margaritas presentan las semillas en forma de 21 y 34 espirales.
Y cualquier variedad de piña presenta siempre un número de espirales que coincide con dos términos de la sucesión de los conejos de Fibonacci, 8 y 13; o 5 y 8.
Parece que el mundo vegetal tenga programado en sus códigos genéticos del crecimiento los términos de la sucesión de Fibonacci.
Rectángulos de Fibonacci y espiral de Durero
Podemos construir una serie de rectángulos utilizando los números de esta sucesión:
- Empezamos con un cuadrado de lado 1, los dos primeros términos de la sucesión. Construimos otro igual sobre él. Tenemos ya un primer rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.
- Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.
- Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21... Podemos llegar a rectángulo de 34x55, de 55x89...
- Cuanto más avancemos en este proceso más nos aproximamos al rectángulo aureo.
- Hemos construido así una sucesión de rectángulos, cuyas dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2, y avanzan de forma inexorable hacia el rectángulo áureo.
- Si unimos los vértices de estos rectángulos se nos va formando una curva que ya nos resulta familiar. Es la espiral de Durero.
Una espiral, que de forma bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las conchas de los moluscos, en los cuernos de los rumiantes... Es decir, la espiral del crecimeinto y la forma del reino animal.
Fibonacci sin pretenderlo había hallado la llave del crecimiento en la Naturaleza.
Los números de Fibonacci y su relación con las plantas
La hoja vuelve siempre su cara superior hacia el cielo por que pueda así recibir con toda su superficie el rocío que lentamente desciende del árbol. Las hojas se distribuyen sobre sus plantas de modo que se incomoden lo menos posible: terciándose unas de otras, tal como podemos ver en la hiedra que cubre los muros. Esta alternancia sirve a dos fines, a saber: dejar intervalos por los que el aire y el sol puedan penetrar y, una segunda razón, permitir que las gotas caídas de la primera hoja puedan caer sobre la cuarta, o en otros árboles, sobre la sexta.
[DV, Botánica para pintores y otros elementos de paisaje.(403)]
Anteriormente hemos estudiado los números 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, . . . que aparecen en la sucesión de Fibonacci. Desde luego, las plantas no saben esto, simplemente se desarrollan eficientemente. Una gran cantidad de plantas exhibe los números de Fibonaci en los pétalos de sus flores, y en los arreglos que tienen sus hojas, alrededor de sus tallos.
La filotaxis es el estudio de la disposición de las hojas sobre el tallo. El estudio de la filotaxis puede hacerse de dos maneras: estudiando el arreglo de las hojas a lo largo del tallo ya desarrollado, o estudiando un corte transversal de una yema, donde se puede analizar la situación respectiva de varias hojas jóvenes [biol], [smith].
En las siguientes páginas puedes leer más información sobre este tema
http://www.biologia.edu.ar/botanica/tema2/tema2_7filotaxis.htm
http://www.math.smith.edu/~phyllo
¿Alguna vez te has detenido a observar el número de pétalos de una flor?
Si lo haces, encontraras que frecuentemente el número de pétalos de una flor es uno de los números de Fibonacci. En la Figura anterior mostramos algunos ejemplos que tomamos de http://ccins.camosun.bc.ca/~jbritton/fibslide/jbfibslide.htm
Como mencionamos anteriormente, la relación entre los números de Fibonacci y las plantas no se restringe a los pétalos
Si nuevamente fijamos nuestra atención en el tallo, y contamos cuantas vueltas le dimos antes de obtener la superposición de las hojas, nuevamente se obtiene un número de la sucesión de Fibonacci. (Ver Figura anterior)
En nuestro ejemplo tenemos 8 hojas, y damos 5 vueltas, por lo que se dice que esta planta tiene filotaxis 5/8. Cada especie esta caracterizada por su filotaxis. Casi todos los cocientes se obtienen considerando dos números consecutivos, o alternados, de la sucesión de Fibonacci.
Aún más, podemos determinar el ángulo de divergencia, de una planta, trazando los lados sobre los ejes de dos hojas sucesivas, y podemos ver que:
La posición de cada nuevo retoño se encuentra situado aproximadamente a 222.5° grados del anterior, (o su complemento, que es de 137.5°) pues en principio, es el máximo ángulo posible entre ellos. Este ángulo se denomina el ángulo áureo, y divide a 360o precisamente en la sección dorada, esto es
360/ángulo áureo = ángulo áureo/360-ángulo áureo=1/f
¿Porqué sucede esto? Después de más de cien años de estudio, el porqué las plantas crecen de acuerdo con los dictados de la sucesión de Fibonacci y la razón áurea ha sido un misterio, sin embargo, en diversos estudios se ha observado que las plantas siguen un principiode crecimiento muy simple, a saber, el crecimiento se da en los lugares donde hay más espacio.
La naturaleza no intenta utilizar los números de Fibonacci, estos aparecen como parte de un proceso físico más profundo, esta es la razón del porqué las espirales que vemos en el centro de un girasol, o en las piñas de las coníferas, no son perfectas, no siguen una regla matemática, simplemente responden a restricciones físicas, podemos ver esto en la siguiente Figura:
